Algebraische Zahl

In der Mathematik ist eine algebraische Zahl x {\displaystyle x} eine reelle oder komplexe Zahl, die Nullstelle eines Polynoms vom Grad größer als Null (nicht konstantes Polynom) f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}} mit rationalen Koeffizienten a k ∈ Q , k = 0 , … , n , a n ≠ 0 {\displaystyle a_{k}\in \mathbb {Q} ,k=0,\dotsc ,n,a_{n}\neq 0} , also Lösung der Gleichung f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} , ist. Die so definierten algebraischen Zahlen bilden eine echte Teilmenge A {\displaystyle \mathbb {A} } der komplexen Zahlen C {\displaystyle \mathbb {C} } . Offenbar ist jede rationale Zahl q {\displaystyle q} algebraisch, da sie die Gleichung x − q = 0 {\displaystyle x-q=0} löst. Es gilt also Q ⊊ A ⊊ C {\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {A} \subsetneq \mathbb {C} } . Ist eine reelle (oder allgemeiner komplexe) Zahl nicht algebraisch, so heißt sie transzendent. Die ebenfalls gebräuchliche Definition der algebraischen Zahlen als Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten ist äquivalent zur oben angegebenen. Jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten kann durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koeffizienten in eines mit ganzzahligen Koeffizienten umgewandelt werden. Das entstehende Polynom hat dieselben Nullstellen wie das Ausgangspolynom. Polynome mit rationalen Koeffizienten kann man normieren, indem man alle Koeffizienten durch den Koeffizienten a n {\displaystyle a_{n}} dividiert. Nullstellen von normierten Polynomen, deren Koeffizienten ganzzahlig sind, nennt man ganzalgebraische Zahlen oder auch ganze algebraische Zahlen. Die ganzalgebraischen Zahlen bilden einen Unterring der algebraischen Zahlen. Zum allgemeinen Begriff der Ganzheit siehe Ganzheit (kommutative Algebra). Man kann den Begriff der algebraischen Zahl zu dem des algebraischen Elements erweitern, indem man die Koeffizienten des Polynoms statt aus Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , aus einem beliebigen Körper entnimmt.

Wörter

Diese Tabelle zeigt das Beispiel für die Verwendung von Wortlisten zum Extrahieren von Stichwörtern aus dem obigen Text.

WortHäufigkeitAnzahl der ArtikelRelevanz
koeffizienten101720.322
displaystyle1155500.223
x12136950.206
mathbb75430.198
zahlen829790.18

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